Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-3x+1，g(x)=Asin(x-

π

6

)，（A≠0）
（1）當(dāng)0≤x≤

π

2

時(shí)，求y=f（sinx）的最大值；
（2）若對(duì)任意的x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍；
（3）問a取何值時(shí)，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有兩解？

Answer 1

分析：（1）由已知可得，y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1設(shè)t=sinx，由x∈[0，

π

2

]可得0≤t≤1，從而可得關(guān)于 t的函數(shù)y=2(t2-

3

2

t)+1=2(t-

3

4

)2-

1

8

，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（2）依據(jù)題意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集，要求 A的取值范圍，可先求f（x₁）值域，然后分①當(dāng)A＞0時(shí)，g（x₂）值域②當(dāng)A＜0時(shí)，g（x₂）值域，建立關(guān)于 A的不等式可求A
的范圍．
（3）2sin²x-3sinx+1=a-sinx化為2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解令t=sinx則2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情況可結(jié)合兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況討論．

解答：解：（1）y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1設(shè)t=sinx，x∈[0，

π

2

]，則0≤t≤1
∴y=2(t2-

3

2

t)+1=2(t-

3

4

)2-

1

8

∴當(dāng)t=0時(shí)，y_max=1
（2）當(dāng)x₁∈[0，3]∴f（x₁）值域?yàn)?span id="iytzsvs" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-

1

8

，10]
當(dāng)x₂∈[0，3]時(shí)，則-

π

6

≤x2-

π

6

≤3-

π

6

有-

1

2

≤sin(x2-

π

6

)≤1
①當(dāng)A＞0時(shí)，g（x₂）值域?yàn)?span id="kyq4kbh" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-

1

2

A，A]
②當(dāng)A＜0時(shí)，g（x₂）值域?yàn)?span id="sgfikv9" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[A，-

1

2

A]
而依據(jù)題意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集
則

A＞0 10≤A - 1 8 ≥- 1 2 A

或

A＜0 10≤- 1 2 A - 1 8 ≥A

∴A≥10或A≤-20
（3）2sin²x-3sinx+1=a-sinx化為2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解
換t=sinx則2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情況如下：
①當(dāng)在（-1，1）上只有一個(gè)解或相等解，x有兩解（5-a）（1-a）＜0或△=0
∴a∈（1，5）或a=

1

2

②當(dāng)t=-1時(shí)，x有惟一解x=

3

2

π
③當(dāng)t=1時(shí)，x有惟一解x=

π

2

故a∈（1，5）或a=

1

2

點(diǎn)評(píng)：（1）主要考查了以三角函數(shù)為載體轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題
（2）考查了三角函數(shù)的值域的求解及分類討論思想的應(yīng)用
（3）體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，方程與函數(shù)的思想的應(yīng)用．