Question

已知偶函數(shù)滿足：當時，，當時，.
(Ⅰ).求表達式；
(Ⅱ).若直線與函數(shù)的圖像恰有兩個公共點，求實數(shù)的取值范圍；
(Ⅲ).試討論當實數(shù)滿足什么條件時，直線的圖像恰有個公共點，且這個公共點均勻分布在直線上.（不要求過程）

Answer 1

(Ⅰ).;(Ⅱ).  (Ⅲ).當時，或
當時， 此時; 當時，，或
當時此時.

試題分析：（1）由為偶函數(shù)，則有，又因為當，及，，所以當時，，即可求出 .當時，同理可求出此時的.（2）畫出的大致圖像，由圖1易知，當時，函數(shù)與恰有兩個交點，所以當時，函數(shù)與無交點，易得當時恒成立，當時，則有，即可求出.
當，時，函數(shù)的圖像如圖2所示，此時直線的圖像若恰有個公共點，且這個公共點均勻分布在直線上，則易知時符合題意，設時由左到右的兩個交點的橫坐標分別為，由函數(shù)的對稱性易知，，此時.其他情況同理即可求出.

圖1                                 圖2
試題解析：（1）為偶函數(shù)，則有
當時，，即
當時，，即
故有
（2）如下圖，當時，由圖像易知函數(shù)與恰有兩個交點
當時，函數(shù)與無交點
由，
當時，此時符合題意
當時，由即
可得
由偶函數(shù)的對稱性可知時，
與時的情況相同
故綜上：

（3）當時，或
當時， 此時   
當時，，或
當時此時