Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：a₃=7，a₅+a₇=26．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）若m=

2an

2n+2

，數(shù)列{b_n}的滿足關(guān)系式b_n=

1         (n=1) bn-1+m(n＞)

，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)a₃=7，a₅+a₇=26，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程組，求得首項(xiàng)與公差，即可求a_n及S_n；
（Ⅱ）根據(jù)m=

2an

2n+2

=2^n-1，當(dāng)n＞1時(shí)，bn-bn-1=2n-1，利用疊加法，可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，因?yàn)閍₃=7，a₅+a₇=26，
所以有

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得a₁=3，d=2，（3分）
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1；   （5分）
∴S_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2）（7分）
（Ⅱ）∵m=

2an

2n+2

=2^n-1，（8分）
∴當(dāng)n＞1時(shí)，bn=bn-1+2n-1，即bn-bn-1=2n-1，
所以bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1) =1+2+…+2^n-1=2ⁿ-1，（13分）
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1也滿足上式，所以數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=2ⁿ-1．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查疊加法，解題的關(guān)鍵是基本量法建立方程組．