Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R
（1）當(dāng)a=1時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=x²-mx+4，當(dāng)a=2時(shí)，若?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有g(shù)（x₁）≥h（x₂）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-

1

x

，f′（x）=

1

x

+

1

x2

=

x+1

x2

，由此能推導(dǎo)出f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）將函數(shù)為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，分離出參數(shù)a，求出a的范圍．
（3）對(duì)h（x）進(jìn)行配方，討論其最值問題，根據(jù)題意?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有g(shù)（x₁）≥h（x₂）成立，只要要求g（x）_max≥h（x）_max，即可，從而求出m的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-

1

x

，
∴f′（x）=

1

x

+

1

x2

=

x+1

x2

，x＞0．
∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）∵f（x）=lnx-

a

x

，g（x）=f（x）+ax-6lnx，a＞0．
∴g（x）=ax-

a

x

-5lnx，x＞0
∴g′（x）=a+

1

x2

-

5

x

=

ax2-5x+a

x2

，
若g′（x）＞0，可得ax²-5x+a＞0，在x＞0上成立，
∴a＞

5x

x2+1

=

5

x+ 1 x

，
∵

5

x+ 1 x

≤

5

2 1

=

5

2

（x=1時(shí)等號(hào)成立），
∴a＞

5

2

．
（3）當(dāng)a=2時(shí)，g（x）=2x-

2

x

-5lnx，
h（x）=x²-mx+4=（x-

m

2

）²+4-

m2

4

，
?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有g(shù)（x₁）≥h（x₂）成立，
∴要求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，
g′（x）=

2x2-5x+2

x2

=

(2x-1)(x-2)

x2

，令g′（x）=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=2，
當(dāng)0＜x＜

1

2

，或x＞2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)

1

2

＜x＜2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
∵x₁∈（0，1），
∴g（x）在x=

1

2

處取得極大值，也是最大值，
∴g（x）_max=g（

1

2

）=1-4+5ln2=5ln2-3，
∵h(yuǎn)（x）=x²-mx+4=（x-

m

2

）²+4-

m2

4

，
若m≤3，h_max（x）=h（2）=4-2m+4=8-2m，
∴5ln2-3≥8-2m，∴m≥

11-5ln2

2

，
∵

11-5ln2

2

＞3，故m不存在；
若m＞3時(shí)，h_max（x）=h（1）=5-m，
∴5ln2-3≥5-m，∴m≥8-5ln2，
實(shí)數(shù)m的取值范圍：m≥8-5ln2；

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，和分類討論思想，及二次函數(shù)的知識(shí)，是導(dǎo)數(shù)中常見的恒成立問題，屬難題．