Question

（本題滿分12分）在數(shù)列和中，，，，其中且，.

（Ⅰ）證明：當時，數(shù)列中的任意三項都不能構成等比數(shù)列；

（II）設，，試問在區(qū)間上是否存在實數(shù)使得.若存在，求出的一切可能的取值及相應的集合；若不存在，試說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略

（II）在區(qū)間上存在實數(shù)，使成立，且當時，；當時，.

【解析】（Ⅰ）由已知，假設，，成等比數(shù)列，其中，且彼此不等,則，   ………2分

所以，所以，

若，則，可得，與矛盾；   ………4分

若，則為非零整數(shù)，為無理數(shù)，

所以為無理數(shù)，與是整數(shù)矛盾.      

所以數(shù)列中的任意三項都不能構成等比數(shù)列. …………………6分        

（Ⅱ）設存在實數(shù)，使，設，則，且，

設，，則，所以，

因為，且，所以能被整除.  …………………7分

（1）當時，因為， ，所以；……9分

（2）當時，，

由于，所以，，所以，當且僅當時，能被整除.…………12分

（3）當時，

，

由于，所以，

所以，當且僅當，即時，能被整除.   ……11分

綜上，在區(qū)間上存在實數(shù)，使成立，且當時，；當時，.  …………12分