Question

已知直角梯形中， ， 過 作，垂足為，分別為的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折疊使二面 角的平面角的正切值為.

（1）求證：平面；

（2）求異面直線與所成的角的余弦值；

（3）求二面角的大小．

Answer 1

（1）見解析（2）（3）

解析:

（1）取中點(diǎn)，連接，， 又為中點(diǎn)

， 平面，平面， ，  同理可證  ， 平面， 平面平面，  平面 平面．

（2）延長，過作垂直直線于，易證平面，，，二面角的平面角的正切值為，∴

∵，∴， ，過點(diǎn)做，以為原點(diǎn)，以射線分別為的正方向建立直角坐標(biāo)系（如圖）

則，， ，，，，，．

，  ，      

∴異面直線與所成的角余弦值為．

（3）取中點(diǎn)，易證平面，所以面一個(gè)法向量為 

， ，設(shè)平面的法向量為

則，

取得得平面的一個(gè)法向量為∴ 

∴二面角的大小為．