Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長都是2，M是BC的中點，P是側棱BB₁上一點，且A₁P⊥B₁M．
（1）試求A₁P與平面APC所成角的正弦；
（2）求點A₁到平面APC的距離．

Answer 1

分析：（1）先建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出相關各點的坐標，再利用垂直關系的向量表示即可求得點P的坐標；進一步求出平面APC的法向量，最后利用向量的夾角公式即可求出直線A₁P與平面APC所成角；
（2）先利用空間中兩點的距離公式求出：|

A1P

|=

1+3+ 1 4

=

17

2

，設A₁到平面PAC的距離為d，最后結合d與|A₁P|的關系即可求出d值．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，
則相關各點的坐標為A₁（2，0，0），B₁(1，

3

，0)，P(1，

3

，z)，M(

1

2

，

3

2

，2)，C(0，0，2)，A(2，0，2)
由A₁P⊥B₁M知

A1P

•

B1M

=0
∴(-1，

3

，z)•(-

1

2

，-

3

2

，2)=

1

2

-

3

2

+2z=0，∴z=

1

2

，
即點P的坐標為P(1，

3

，

1

2

)．

（1）設平面APC的法向量為n=（x，y，z），
由

n• CA =0 n• CP =0

即

2x=0 x+ 3 y- 3 2 z=0

∴n=(0，

3

2

z，z)．
取z=-1，則有n=(0，-

3

2

，-1)，方向指向平面APC的左下方，又

PA1

=(1，-

3

，-

1

2

)，cos＜

PA1

，n＞=

PA1 •n

| PA1 |•n

=

8

17 • 7

=

8 119

119

．
設直線A₁P與平面APC所成角為α，則sinα=

8 119

119

．
（2）|

A1P

|=

1+3+ 1 4

=

17

2

，設A₁到平面PAC的距離為d，則d=|

A1P

|sinα=

17

2

•

8

17×7

=

4

7

=

4 7

7

．

點評：本題主要考查了直線與平面之間所成角、點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力、利用空間向量的運算能力，屬于中檔題．