Question

（2012•寶雞模擬）在如圖所示的幾何體中，四邊形ACC₁A₁是矩形，FC₁∥BC，EF∥A₁C₁，∠BCC₁=90°，點A、B、E、A₁在一個平面內，AB=BC=CC₁=2，AC=2

2

．
（1）證明：A₁E∥AB；
（2）若A₁E=C₁F=1，求平面BEF與平面ABC所成夾角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由已知，可得A₁C₁∥平面ABC，FC₁∥平面ABC，可由面面平行的判定定理可得平面A₁EFC₁∥平面ABC，進而由面面平行的性質定理可得A₁E∥AB；
（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面BEF與平面ABC的法向量，利用向量法求出兩面角的余弦值，進而根據同角三角函數關系求出答案．

解答：證明：（1）∵四邊形ACC₁A₁是矩形，
∴AC∥A₁C₁，AC?平面ABC
∴A₁C₁∥平面ABC
∵FC₁∥BC，BC?平面ABC
∴FC₁∥平面ABC
∵A₁C₁，FC₁?平面A₁EFC₁，且A₁C₁∩FC₁=C₁，
∴平面A₁EFC₁∥平面ABC
又∵平面ABEA₁現平面A₁EFC₁，平面ABC交線分別為平面A₁E、AB
∴A₁E∥AB；…6分
解：（2）∵四邊形ACC₁A₁是矩形，
∴AA₁∥CC₁，
又∵∠BCC₁=90°，即CC₁⊥BC₁，
∴AA₁⊥BC
∵AB=BC=2，AC=2

2

∴AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，即BC⊥AB
又∵AB、AA₁?平面ABEA₁，
∴BC⊥平面ABEA₁，而BC?平面CC₁FB
∴平面CC₁FB⊥平面ABEA₁，
∵AA₁⊥AC，AA₁⊥BC
∴AA₁⊥平面ABC，CC₁⊥平面ABC…8分
如圖建立空間直角坐標系，
則

CC1

=（0，0，2）為平面ABC的一個法向量，…9分
設平面BEF的法向量

n

=（x，y，z）
∵A₁E=C₁F=1，
∴E（1，0，2），F（0，1，2）
∴

BE

=（1，0，2），

BF

=（0，1，2）
則

n • BE =0 n • BF =0

，即

x+2z=0 y+2z=0

令x=2，則

n

=（2，2，-1）即為平面BEF的法向量…10分
設平面BEF與平面ABC所成夾角為θ
則cosθ=

| n • CC1 |

| n |•| CC1 |

=

1

3

…11分
則sinθ=

2 2

3

，tanθ=2

2

…12分

點評：本題考查的知識點是空間中直線與直線之間的位置關系，平面與平面平等的判定及性質，向量法求二面角，其中（1）中關鍵是熟練掌握面面平行，線面平面與線線平行之間的相互轉化，（2）的關鍵是建立空間坐標系，將問題轉化為空間向量問題．