Question

已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且b²+c²=a²+bc，求：
（1）2sinBcosC-sin（B-C）的值；
（2）若a=2，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)余弦定理表示出cosA，把已知得等式變形后代入即可求出cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)，然后把所求的式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，將sinA的值代入即可求出值；
（2）由a=2和sinA的值，根據(jù)正弦定理表示出b和c，代入三角形的周長a+b+c中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到周長的最大值．

解答：解：（1）∵b²+c²=a²+bc，∴a²=b²+c²-bc，
結(jié)合余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-(b2+c2-bc)

2bc

=

1

2

，
又A∈（0，π），∴A=

π

3

，
∴2sinBcosC-sin（B-C）=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）=sin[π-A]=sinA=

3

2

；
（2）由a=2，結(jié)合正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

3 2

=

4 3

3

，
∴b=

4 3

3

sinB，c=

4 3

3

sinC，
則a+b+c=2+

4 3

3

sinB+

4 3

3

sinC
=2+

4 3

3

sinB+

4 3

3

sin（

2π

3

-B）
=2+2

3

sinB+2cosB=2+4sin（B+

π

6

），
可知周長的最大值為6．

點評：此題考查學(xué)生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的值域，是一道中檔題．