Question

已知向量a=(2cosx，cos2x)，b=(sinx，

3

)，函數(shù)f（x）=a•b，（x∈R），
（Ⅰ）將函數(shù)y=2sinx的圖象做怎樣的變換可以得到函數(shù)f（x）的圖象？
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若f(x0)=

6

5

，x0∈[0，

π

2

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：（1）按照向量數(shù)量積的坐標表示，求出f（x）=2sin（2x+

π

3

），再根據(jù)圖象變化規(guī)律得到變換的方式．
（2）將2x+

π

3

看作整體，求出范圍，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性求最值．
（3）由已知sin（2x₀+

π

3

)=

3

5

=

3

5

，將2x₀轉(zhuǎn)化成（2x₀+

π

3

-

π

3

） 再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求解．

解答：解：（Ⅰ） f（x）=2sinxcosx+

3

cos2x=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）
將函數(shù)y=2sinx的圖象向左平移

π

3

個單位，再保持圖象上各點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="apc90fj" class="MathJye">

1

2

，可得到函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）的圖象
（或?qū)⒑瘮?shù)y=2sinx的圖象上各點保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="asepudb" class="MathJye">

1

2

，再把所得函數(shù)圖象向左平移

π

6

個單位，可得到函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）的圖象）
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+

π

3

），x∈[0，

π

2

]∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

12

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[

π

12

，

π

2

]上單調(diào)遞減，
當2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

時，函數(shù)f（x）有最大值2，
當2x+

π

3

=

4π

3

，即x=

π

2

時，函數(shù)f（x）有最小值-

3

，
（Ⅲ） f（x₀）=

6

5

，x0∈[0，

π

2

]，即sin（2x₀+

π

3

)=

3

5

=

3

5

∵2x₀+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，又sin（2x₀+

π

3

)=

3

5

＜sin

π

3

=

3

2

=

3

5

＜sin

π

3

∴2x₀+

π

3

∈(

π

2

，π），∴cos（2x₀+

π

3

)=-

4

5

=-

4

5

，
∴cos2x₀=cos（2x₀+

π

3

-

π

3

）=cos（2x₀+

π

3

)cos

π

3

+sin(2x0+

π

3

)sin

π

3

cos 

π

3

+sin（2x₀+

π

3

）sin

π

3

=-

4

5

×

1

2

+

3

5

×

3

2

=

3 3 -4

10

．

點評：本題考查向量的數(shù)量積運算，圖象變換、正弦函數(shù)單調(diào)性、最值、兩角和與差的三角函數(shù)．考查轉(zhuǎn)化的思想、整體思想、計算能力．