Question

已知向量

a

=(2cosx，

3

sinx)，

b

=(cosx，2cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：直接利用向量的數(shù)量積求出函數(shù)的表達(dá)式，通過二倍角公式與兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，
（1）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．
（2）結(jié)合x的范圍，求出2x+

π

6

的范圍，然后求出函數(shù)的值域．

解答：解：由

a

=(2cosx，

3

sinx)，

b

=(cosx，2cosx)，
f(x)=

a

•

b

=2cos²x+2

3

sinxcosx=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1．
（1）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）由x∈[0，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，故sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
函數(shù)的值域?yàn)椋篬0，3]．

點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積，二倍角公式兩角和的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的基本性質(zhì)，考查計(jì)算能力．