Question

若非零不共線向量

a

、

b

滿足|

a

-

b

|=|

b

|，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（　�。�
①向量

a

、

b

的夾角恒為銳角；
②2|

b

|²＞

a

•

b

；
③|2

b

|＞|

a

-2

b

|；
④|2

a

|＜|2

a

-

b

|．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：對于①，利用已知條件，推出向量

a

、

b

、

a

-

b

組成的三角形是等腰三角形，判定正誤即可；
對于②，利用數(shù)量積公式，結(jié)合已知條件，判斷正誤；
對于③，通過平方以及向量的數(shù)量積判斷正誤．
對于④，|2

a

|＜|2

a

-

b

|，得到4|

a

|cos＜

a

，

b

＞＜|

b

|不一定成立，說明正誤即可．

解答：解：①因為非零向量

a

、

b

滿足|

a

-

b

|=|

b

|，所以由向量

a

、

b

、

a

-

b

組成的三角形是等腰三角形，
且向量

a

是底邊，所以向量

a

、

b

的夾角恒為銳角，①正確；
②：2|

b

|²＞

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞⇒2|

b

|＞|

a

|cos＜

a

，

b

＞，
而|

b

|+|

a

-

b

|=2|

b

|＞|

a

|＞|

a

|cos＜

a

，

b

＞，所以②正確；
③：|2

b

|＞|

a

-2

b

|⇒4|

b

|²＞|

a

-2

b

|²=|

a

|²-4|

a

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞+4|

b

|²
⇒4|

a

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞＞|

a

|²⇒4•|

b

|cos＜

a

，

b

＞＞|

a

|，
而2|

b

|cos＜

a

，

b

＞=|

a

|，所以4|

b

|cos＜

a

，

b

＞＞|

a

|，③正確；
④：|2

a

|＜|2

a

-

b

|⇒4|

a

|cos＜

a

，

b

＞＜|

b

|，而4|

a

|cos＜

a

，

b

＞＜|

b

|不一定成立，所以④不正確．
故選C．

點評：本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的模的求法，考查計算能力．