Question

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為2，一條準(zhǔn)線(xiàn)方程為l：．

⑴ 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵ 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線(xiàn)與以OM為直徑的圓交于點(diǎn)N,求證:線(xiàn)段ON的長(zhǎng)為定值．

Answer 1

解：⑴∵橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，橢圓C的一條準(zhǔn)線(xiàn)為l：，

∴不妨設(shè)橢圓C的方程為．（2分）∴，（ 4分）即．（5分）

∴橢圓C的方程為．（6分）

    ⑵ F（1，0），右準(zhǔn)線(xiàn)為l：， 設(shè)，

     則直線(xiàn)FN的斜率為，直線(xiàn)ON的斜率為，（8分）

     ∵FN⊥OM，∴直線(xiàn)OM的斜率為，（9分）

    ∴直線(xiàn)OM的方程為：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（11分）

    ∴直線(xiàn)MN的斜率為．（12分）

    ∵MN⊥ON，∴，    ∴，

∴，即．（13分）∴為定值．（14分）

說(shuō)明:若學(xué)生用平面幾何知識(shí)（圓冪定理或相似形均可）也得分，設(shè)垂足為P，準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸交于Q，則有，又，所以為定值．