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          已知橢圓的中心為坐標原點,短軸長為2,一條準線方程為l

          ⑴ 求橢圓的標準方程;

          ⑵ 設O為坐標原點,F是橢圓的右焦點,點M是直線l上的動點,過點FOM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值.

          解:⑴∵橢圓C的短軸長為2,橢圓C的一條準線為l,

          ∴不妨設橢圓C的方程為.(2分)∴,( 4分)即.(5分)

          ∴橢圓C的方程為.(6分)

              ⑵ F(1,0),右準線為l, 設,

               則直線FN的斜率為,直線ON的斜率為,(8分)

               ∵FNOM,∴直線OM的斜率為,(9分)

              ∴直線OM的方程為:,點M的坐標為.(11分)

              ∴直線MN的斜率為.(12分)

              ∵MNON,∴,    ∴,

          ,即.(13分)∴為定值.(14分)

          說明:若學生用平面幾何知識(圓冪定理或相似形均可)也得分,設垂足為P,準線lx軸交于Q,則有,又,所以為定值.

          練習冊系列答案
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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知橢圓的中心為坐標原點O,焦點在x軸上,斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點,
          OA
          +
          OB
          a
          =(3,-1)共線.
          (Ⅰ)求橢圓的離心率;
          (Ⅱ)設M為橢圓上任意一點,且
          OM
          OA
          OB
          (λ,μ∈R)
          ,證明λ22為定值.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知橢圓的中心為坐標原點O,橢圓短半軸長為1,動點M(2,t)(t>0)在直線x=
          a2c
          (a為長半軸,c為半焦距)上.
          (1)求橢圓的標準方程
          (2)求以OM為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程;
          (3)設F是橢圓的右焦點,過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值,并求出這個定值.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知橢圓的中心為坐標原點,斜率為1且過橢圓右焦點F(2,0)的直線交橢圓于A,B兩點,
          OA
          +
          OB
          a
          =(3,-1)
          共線,則該橢圓的長半軸長為
          6
          6

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知橢圓的中心為坐標原點O,橢圓短半軸長為1,動點M(2,t)(t>0)在直線x=
          a2c
          (a為長半軸,c為半焦距)上.
          (1)求橢圓的標準方程;
          (2)求以OM為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知橢圓的中心為坐標原點O,焦點在x軸上,斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點,
          OA
          +
          OB
          a
          =(3,-1)
          共線,則該橢圓的離心率為( 。
          A、
          5
          3
          B、
          3
          2
          C、
          6
          3
          D、
          2
          2
          3

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