Question

(本小題13分)己知函數(shù)。
（1）試探究函數(shù)的零點個數(shù)；
（2）若的圖象與軸交于兩點，中點為，設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為, 求證：。

Answer 1

（1）時，有2個零點；時，有1個零點；時沒有零點；（2）證明詳見解析.

解析試題分析：（1）先求導(dǎo)，求出極值點，然后分類求出函數(shù)的零點個數(shù).（2）首先用函數(shù)的零根表示出a，，即，=，然后代入中，整理得，設(shè)，則，，通過導(dǎo)數(shù)求的值域大于0即可得證.
試題解析：（1），則x=是極大值點，函數(shù) 極大值，（0， ）是單調(diào)增區(qū)間，（ ，+）是單調(diào)減區(qū)間；(1)當(dāng)，即時，有2個零點；(2)當(dāng)，即時，有1個零點；(3)當(dāng)，即時沒有零點；
（2）由得
  
=，令，設(shè)，
則，又，，
即，又，。
考點：1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)；2.不等式的證明.