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        1. 已知拋物線C:y=ax2(a>0)上的點(diǎn)P(b,1)到焦點(diǎn)的距離為
          5
          4

          (Ⅰ)求a的值;
          (Ⅱ)如圖,已知?jiǎng)泳段AB(B在A右邊)在直線l:y=x-2上,且|AB|=
          2
          ,現(xiàn)過A作C的切線,取左邊的切點(diǎn)M,過B作C的切線,取右邊的切點(diǎn)為N,當(dāng)MN∥AB,求A點(diǎn)的橫坐標(biāo)t的值.
          分析:(Ⅰ)求出拋物線的準(zhǔn)線方程,利用拋物線的定義把點(diǎn)P(b,1)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,由此可求a的值;
          (Ⅱ)設(shè)出M和N的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求出過M和N的切線方程,由t表示出A,B的坐標(biāo),把A,B代入切線方程后求出M和N的坐標(biāo),由兩點(diǎn)式寫出MN所在直線的斜率,由斜率等于1即可求出t的值.
          解答:解:(Ⅰ)拋物線C:y=ax2x2=
          1
          a
          y
          ,準(zhǔn)線方程為:y=-
          1
          4a
          ,
          ∵點(diǎn)P(b,1)到焦點(diǎn)的距離為
          5
          4
          ,∴1+
          1
          4a
          =
          5
          4
          ,∴a=1,∴拋物線C的方程為y=x2
          (Ⅱ)設(shè)M(x1,
          x
          2
          1
          ),N(x2,
          x
          2
          2
          )
          ,∵y=x2,∴y'=2x,∴kAM=2x1
          ∴切線AM的方程為:y-
          x
          2
          1
          =2x1(x-x1)
          ,即y=2x1x-
          x
          2
          1
          ,
          同理可得切線BN的方程為:y=2x2x-
          x
          2
          2

          由于動(dòng)線段AB(B在A右邊)在直線l:y=x-2上,且|AB|=
          2

          故可設(shè)A(t,t-2),B(t+1,t-1),
          將A(t,t-2)代入切線AM的方程,得t-2=2x1t-
          x
          2
          1
          ,即
          x
          2
          1
          -2tx1+t-2=0
          ,
          x1=
          2t-
          4t2-4(t-2)
          2
          =t-
          t2-t+2
          ,
          同理可得x2=t+1+
          (t+1)2-(t+1)+2
          =t+1+
          t2+t+2
          ,
          kMN=
          x
          2
          2
          -
          x
          2
          1
          x2-x1
          =x1+x2
          ,當(dāng)MN∥AB時(shí),kMN=1,得x1+x2=1,
          t-
          t2-t+2
          +t+1+
          t2+t+2
          =1
          ,
          2t=
          t2-t+2
          -
          t2+t+2
          ,
          2t=
          -2t
          t2-t+2
          +
          t2+t+2

          得t=0或
          t2-t+2
          +
          t2+t+2
          =-1
          (舍去),∴t=0.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了拋物線的方程,運(yùn)用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法.考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)的切線方程,考查了二次方程根的求法,解答此題的關(guān)鍵是用A點(diǎn)的坐標(biāo)表示出B點(diǎn)的坐標(biāo),屬難題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知拋物線C:y=x2+4x+
          2
          7
          ,過C上一點(diǎn)M,且與M處的切線垂直的直線稱為C在點(diǎn)M的法線.
          (Ⅰ)若C在點(diǎn)M的法線的斜率為-
          1
          2
          ,求點(diǎn)M的坐標(biāo)(x0,y0
          (Ⅱ)設(shè)P(-2,a)為C對(duì)稱軸上的一點(diǎn),在C上是否存在點(diǎn),使得C在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)P?若有,求出這些點(diǎn),以及C在這些點(diǎn)的法線方程;若沒有,請(qǐng)說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知拋物線C:y=ax2(a為非零常數(shù))的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物線C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P且與拋物線C相切的直線記為L.
          (1)求F的坐標(biāo);
          (2)當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí),點(diǎn)F到直線L的距離最?

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知拋物線C:y=mx2(m>0),焦點(diǎn)為F,直線2x-y+2=0交拋物線C于A、B兩點(diǎn),P是線段AB的中點(diǎn),過P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q,
          (1)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR,2)到焦點(diǎn)F的距離為3,求此時(shí)m的值;
          (2)是否存在實(shí)數(shù)m,使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知拋物線C:y=2x2上的點(diǎn)A(-1,2),直線l1過點(diǎn)A且與拋物線相切.直線l2:x=a(a>-1)交拋物線于點(diǎn)B,交直線l1于點(diǎn)D,記△ABD的面積為S1,拋物線和直線l1,l2所圍成的圖形面積為S2,則S1:S2=( 。

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          同步練習(xí)冊(cè)答案