Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，F(xiàn)₁、F₂分別為其左、右焦點，P在橢圓上任意一點，且的最大值為1，最小值為-2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A為橢圓C的右頂點，直線l是與橢圓交于M、N兩點的任意一條直線，若AM⊥AN，證明直線l過定點．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程為，p（x，y）為橢圓上任意一點，，由，知=．由此能求出橢圓方程．
（2）①若直線l不垂直于x軸，設(shè)該直線方程為y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由得x²+4（k²x²+2kmx+m²）=4，由此能求出過定點（）．②若直線l垂直于x軸，設(shè)l與x軸交于點（x，0），由橢圓的對稱性知△MNA為等腰Rt△，，解得此時直線l也過定點（）．由此知，直線l恒過定點（）．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為，p（x，y）為橢圓上任意一點，
∴，，
∴，
∵，
∴=．
∵0≤x²≤a²，∴，∴，∴，∴a²=4，
∴橢圓方程為．
（2）①若直線l不垂直于x軸，設(shè)該直線方程為y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由得x²+4（k²x²+2kmx+m²）=4，
化簡，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，∴，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=．
∵AM⊥AN，∴，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴．整理，得12k²+16km+5m²=0，
∴或，
當(dāng)k=-時，l：y=-過定點（2，0），不滿足題意．
當(dāng)時，過定點（）．
②若直線l垂直于x軸，設(shè)l與x軸交于點（x，0），由橢圓的對稱性知△MNA為等腰Rt△，
∴，解得或2（舍），即此時直線l也過定點（）．
由①②知，直線l恒過定點（）．
點評：本題考查直線 和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，具有一定的難度，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．