已知橢圓的離心率為
,直線
:
與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓
的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為
,右焦點(diǎn)
,直線
過(guò)點(diǎn)
且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線
垂
直于點(diǎn)
,線段
垂直平分線交
于點(diǎn)
,求點(diǎn)
的軌跡
的方程;
(3)當(dāng)P不在軸上時(shí),在曲線
上是否存在兩個(gè)不同點(diǎn)C、D關(guān)于
對(duì)稱,若存在,
求出的斜率范圍,若不存在,說(shuō)明理由。
(Ⅰ) ;(Ⅱ)
;
(3)在曲線上不存在兩個(gè)不同點(diǎn)C、D關(guān)于
對(duì)稱
【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)和直線與圓相切得到橢圓的方程。
(2)∵M(jìn)P=MF2,
∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F1(1,0)的距離,
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是C為l1準(zhǔn)線,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線可知結(jié)論。
(3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),利用對(duì)稱性來(lái)分析證明不存在符合題意的結(jié)論。
解:(Ⅰ)∵
∵直線相切,
∴ ∴
∵橢圓C1的方程是
(Ⅱ)∵M(jìn)P=MF2,
∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F1(1,0)的距離,
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是C為l1準(zhǔn)線,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線 ………………6分
∴點(diǎn)M的軌跡C2的方程為 …………7分
(3)顯然不與
軸垂直,設(shè)
(
,
),
(
,
),且
≠
,則
=
.
若存在C、D關(guān)于對(duì)稱,則
=-
∵
≠0,∴
≠0
設(shè)線段的中點(diǎn)為
,則
=
(
+
)=
,
=
,
將代入
方程
求得:
=-
(
-
)=
(
-
)
∵-
=
-
≠1∴
≠
(
)=
∴線段
的中點(diǎn)
不在直線
上.所以在曲線
上不存在兩個(gè)不同點(diǎn)C、D關(guān)于
對(duì)稱
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A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、以上均不對(duì) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
1 |
2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
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x2 |
a2 |
| ||
3 |
OA |
OB |
1 |
2 |
OM |
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| ||
2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
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