Question

如圖，已知半徑為的⊙與軸交于、兩點(diǎn)，為⊙的切線，切點(diǎn)為，且在第一象限，圓心的坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求切線的函數(shù)解析式；
（3）線段上是否存在一點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似．若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）切線的函數(shù)解析式為；
（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

試題分析：（1）先求出圓的方程，并求出圓與軸的交點(diǎn)和的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)和的坐標(biāo)代入二次函數(shù)中解出和的值，從而確定二次函數(shù)的解析式；（2）由于切線過原點(diǎn)，可設(shè)切線的函數(shù)解析式為，利用直線與圓求出值，結(jié)合點(diǎn)的位置確定切線的函數(shù)解析式；（3）對或進(jìn)行分類討論，充分利用幾何性質(zhì)，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析：（1）由題意知，圓的方程為，令，解得或，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由于二次函數(shù)經(jīng)過、兩點(diǎn)，則有，解得，
故二次函數(shù)的解析式為；
（2）設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為，由于點(diǎn)在第一象限，則，
由于直線與圓相切，則，解得，
故切線的函數(shù)解析式為；
（3）由圖形知，在中，，，，
在中，，由于，因為，
則必有或，
聯(lián)立，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)時，直線的方程為，聯(lián)立，于是點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時，，由于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，故點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時，.