Question

設(shè)向量

e1

，

e2

的夾角為60°且|

e1

|=|

e2

|=1，如果

A

B=

e1

+

e2

，

B

C=2

e1

+8

e2

，

C

D=3(

e1

-

e2

)．
（1）證明：A、B、D三點(diǎn)共線．
（2）試確定實(shí)數(shù)k的值，使k的取值滿足向量2

e1

+

e2

與向量

e1

+k

e2

垂直．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線證明三點(diǎn)共線，先將

BD

表示為

BC

與

CD

的和，再證明

BD

=λ

AB

，最后說(shuō)明

AB

，

BD

有公共點(diǎn)B，即可證明A、B、D三點(diǎn)共線
（2）因?yàn)橄蛄?span id="zwor6gv" class="MathJye">

e1

，

e2

的夾角為60°且|

e1

|=|

e2

|=1，所以

e1

•

e2

=

1

2

，故可將向量

e1

，

e2

作為基底，研究2

e1

+

e2

與向量

e1

+k

e2

垂直的問(wèn)題，利用向量垂直的充要條件列方程即可得k值

解答：解：（1）∵

AB

=

e1

+

e2

，

BD

=

BC

+

CD

=5

e1

+5

e2

∴

BD

=5

AB

即

AB

，

BD

共線，
∵

AB

，

BD

有公共點(diǎn)B
∴A，B，D三點(diǎn)共線．
（2）∵(2

e1

+

e2

)⊥(

e1

+k

e2

)
∴(2

e1

+

e2

)•(

e1

+k

e2

)=0
2

e1

2+2k

e1

e2

+

e1

e2

+k

e2

2=0
∵|

e1

|=|

e2

|=1，且

e1

•

e2

=|

e1

|• |

e2

|cos60°=

1

2

∴2+k+

1

2

+k=0
解得k=-

5

4

點(diǎn)評(píng)：本題考察了向量共線的充要條件，向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)及應(yīng)用．