Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 曲線 的極坐標(biāo)方程為 ， 為曲線 上異于極點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) 在射線 上，且 成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求點(diǎn) 的軌跡 的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知 , 是曲線 上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為 ，直線 與 交于 兩點(diǎn)，試求 的值．

Answer 1

【答案】解：（I）設(shè) ， ，
則由 成等比數(shù)列，可得 ，
即 ， ．
又 滿足 ，即 ，
∴ ，
化為直角坐標(biāo)方程為 .
（Ⅱ）依題意可得 ，故 ，即直線 傾斜角為 ，
∴直線 的參數(shù)方程為
代入圓的直角坐標(biāo)方程 ，
得 ，
故 ， ，
∴
【解析】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直線和圓的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．曲線的極坐標(biāo)方程定義：如果曲線C上的點(diǎn)與方程f（ρ，θ）=0有如下關(guān)系:
（1）曲線C上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（所有坐標(biāo)中至少有一個(gè)）符合方程f（ρ，θ）=0；
（2）以方程f（ρ，θ）=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上．
則曲線C的方程是f（ρ，θ）=0．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用參數(shù)方程的定義，掌握在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù)并且對(duì)于的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程即可以解答此題．