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        1. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的圖象過原點,且在x=1處的切線為直線y=-
          12

          (1)求函數(shù)f(x)的解析式;
          (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最小值和最大值.
          分析:(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,建立方程關(guān)系,求函數(shù)f(x)的解析式;
          (2)利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求函數(shù)的最值.
          解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的圖象過原點,
          ∴c=0,即f(x)=x3+ax2+bx.
          f'(x)=3x2+2ax,
          ∵在x=1處的切線為直線y=-
          1
          2
          ,
          ∴f'(1)=0,且f(1)=-
          1
          2
          ,
          即3+2a+b=0,且1+a+b=-
          1
          2
          ,
          解得a=-
          3
          2
          ,b=0,
          ∴f(x)=x3-
          3
          2
          x2,
          (2)f'(x)=3x2-3x=3x(x-1),
          由f'(x)>0得,x>1或x<0,
          由f'(x)<0得,0<x<1,
          即函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞減,在(-∞,0)和(1,+∞)單調(diào)遞增,
          ∵f(-2)=-14,f(0)=0,f(1)=-
          1
          2
          ,f(2)=2,
          ∴函數(shù)的最大值為2,最小值為-14.
          點評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算,以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
          π
          2
          )的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
          A、f(x)=2sin(πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          B、f(x)=2sin(2πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          C、f(x)=2sin(πx+
          π
          3
          )(x∈R)
          D、f(x)=2sin(2πx+
          π
          3
          )(x∈R)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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