Question

設(shè)函數(shù) 
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；
(2)令（）其圖象上任意一點處切線的斜率≤ 恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(3)當(dāng)，，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值．

Answer 1

(1);(2); (3)

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，然后由單調(diào)性確定函數(shù)的最值；（2）先由導(dǎo)函數(shù)求出點P處的切線斜率，然后由恒成立條件，轉(zhuǎn)化為求k的最大值，從而求出實數(shù)的取值范圍；（3）構(gòu)建函數(shù)模型，利用函數(shù)的增減性，分析出方程有唯一解，即函數(shù)有唯一零點的情況，從而得出正數(shù)m的值.
試題解析：（1）依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞），
當(dāng)，，
令， 解得x=1，（∵x＞0），
當(dāng)時，，此時f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時，，此時f（x）單調(diào)遞減，
所以f（x）的極大值為，此即為最大值.
（2），則有上恒成立，
所以，當(dāng)取得最大值，所以.
（3）因為方程有唯一實數(shù)解，所以有唯一實數(shù)解，
設(shè)，則，令，
因為，
當(dāng)上單調(diào)遞減；
當(dāng)上單調(diào)遞增；
當(dāng)，
則，所以，
因為m＞0，所以，（*）
設(shè)函數(shù)，因為當(dāng)x＞0時，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解，
因為h（1）=0，所以方程（*）的解為,即，解得.