【題目】已知函數(shù)
的圖象是自原點出發(fā)的一條折線，當(dāng)
（
）時，該圖象是斜率為
的線段，其中常數(shù)
且
，數(shù)列
由
（）定義.
（1）若
，求
，
；
（2）求
的表達(dá)式及
的解析式（不必求的定義域）；
（3）當(dāng)
時，求的定義域，并證明的圖象與
的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的公共點.
【答案】（1）
，
； （2）
；
時，
，（
）； （3）
的定義域為
，證明見解析.
【解析】
(1)由題意知
，
，當(dāng)
時，
圖像是斜率為
的線段，所以
，即可求出
，同理求出
；(2) 當(dāng)
時，
，得
，利用累加法可求得，當(dāng)
時，即時，
化簡即可求得的解析式；(3) 當(dāng)
時，
，的定義域為，證明，
時，恒有
成立，運用的解析式結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
（1）由，，當(dāng)時，圖像是斜率為的線段，
∴，
∴，又
及
，
∴
，
∴
即.
（2）由（1）知，，；
因為當(dāng)時，，
，
所以
∴
而此式對
也成立，所以
又當(dāng)時，，∴
即時，，（）；
（3）當(dāng)時，，的定義域為
下面證明，時，恒有成立
事實上，對任
總存在
，使得，于是由可有
，進(jìn)而
當(dāng)時，
，
即
，∴，
綜上所述，的圖象與
的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的公共點.
津橋教育計算小狀元系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】李克強總理在很多重大場合都提出“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”．某創(chuàng)客，白手起家，2015年一月初向銀行貸款十萬元做創(chuàng)業(yè)資金，每月獲得的利潤是該月初投入資金的
．每月月底需要交納房租和所得稅共為該月全部金額（包括本金和利潤）的
，每月的生活費等開支為3000元，余款全部投入創(chuàng)業(yè)再經(jīng)營．如此每月循環(huán)繼續(xù)．
（1）問到2015年年底（按照12個月計算），該創(chuàng)客有余款多少元？（結(jié)果保留至整數(shù)元）
（2）如果銀行貸款的年利率為
，問該創(chuàng)客一年（12個月）能否還清銀行貸款？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）＝sinxcosx
cos2x+1
（1）求f（x）的最小正周期和最大值，并寫出取得最大值時x的集合；
（2）將f（x）的函數(shù)圖象向左平移φ（φ＞0）個單位后得到的函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，求φ的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】現(xiàn)對某市工薪階層關(guān)于“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機抽調(diào)了50人,他們月收入的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如表:
月收入(單位百元) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(Ⅰ)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表并問是否有99%的把握認(rèn)為“月收入以5500為分界點”對“樓市限購令”的態(tài)度有差異;
月收入低于55百元的人數(shù) | 月收入不低于55百元的人數(shù) | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
(Ⅱ)若采用分層抽樣在月收入在[15,25),[25,35)的被調(diào)查人中共隨機抽取6人進(jìn)行追蹤調(diào)查,并給予其中3人“紅包”獎勵,求收到“紅包”獎勵的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.
參考公式:K2
,其中n=a+b+c+d.
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線
過點
且與橢圓相交于
兩點.過點
作直線
的垂線，垂足為
.證明直線
過
軸上的定點.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知點
．若曲線
上存在
，
兩點，使
為正三角形，則稱為
型曲線．給定下列三條曲線：
①
；
②
；
③
．
其中型曲線的個數(shù)是
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）若曲線
在
處的切線的斜率為2，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間
上有零點，求實數(shù)
的取值范圍.（
是自然對數(shù)的底數(shù)，
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，
和
都是正三角形，
， E、F分別是AC、BC的中點，且PD⊥AB于D.
（Ⅰ）證明：直線
⊥平面
；
（Ⅱ）求二面角
的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】一個三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成（如圖：其中項數(shù)
）：第一行是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，從第二行起，每一個數(shù)是其肩上兩個數(shù)的和，例如：
；
為數(shù)表中第
行的第
個數(shù).
…
…
…
……
（1）求第2行和第3行的通項公式
和
；
（2）證明：數(shù)表中除最后2行外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列，并求
關(guān)于
的表達(dá)式；
（3）若
，
，試求一個等比數(shù)列
，使得
，且對于任意的
，均存在實數(shù)
，當(dāng)
時，都有
.
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