Question

若中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓過點(diǎn)P（3，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+y2=1或

y2

81

+

x2

9

=1

．

Answer 1

分析：由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上或在y軸上加以討論，分別根據(jù)題意求出橢圓的長(zhǎng)半軸a與短半軸b的值，由此寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案．

解答：解：①當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵橢圓過點(diǎn)P（3，0），∴a=3，
∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，∴2a=3•2b，可得b=

1

3

a=1，此時(shí)橢圓的方程為

x2

9

+y2=1；
②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵橢圓過點(diǎn)P（3，0），∴b=3，
∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，∴2a=3•2b，可得a=3b=1，此時(shí)橢圓的方程為

y2

81

+

x2

9

=1．
綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+y2=1或

y2

81

+

x2

9

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的滿足的條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，屬于基礎(chǔ)題．