Question

如圖，半圓的圓心在直角坐標原點，點A，D，E的坐標分別為A（2，0），D（1，0），E（-1，0），且點B在半圓上自點D逆時針向點E運動，三角形ABC是等腰直角三形，∠BAC是直角，則四邊形OACB的面積的最大值是（　�。�

• A、

  5

  2

  +

  5

• B、2+2

  5

• C、

  5

  2

  +2

  5

• D、2+

  5

Answer 1

考點：任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用余弦定理可求得AB²=5-4cosθ；于是S_△ABC=

1

2

AB²=

5

2

-2cosθ，B（cosθ，sinθ），易求S_△AOB=sinθ；四邊形OACB的面積S=

5

2

-2cosθ+sinθ=

5

2

+

5

sin（θ+φ），從而可得答案．

解答： 解：設∠BOA=θ，由余弦定理得，AB²=OB²+OA²-2OB•OAcosθ=1+4-2×1×2cosθ=5-4cosθ；
∵三角形ABC是等腰直角三形，∠BAC是直角，
∴S_△ABC=

1

2

AB²=

5

2

-2cosθ；
又B（cosθ，sinθ），
∴S_△AOB=

1

2

×OA×sinθ=

1

2

×2sinθ=sinθ；
∴四邊形OACB的面積S=

5

2

-2cosθ+sinθ=

5

2

+

5

sin（θ+φ）（其中tanφ=-2），
∴S_max=

5

2

+

5

，
故選：A．

點評：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，求得四邊形OACB的面積S=

5

2

+

5

sin（θ+φ）是關鍵，著重考查余弦定理與輔助角公式的應用，考查三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．