Question

【題目】設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f（x+2）=﹣f（x），當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x+x2 ．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[2，4]，求f（x）的解析式；
（3）計算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2008）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），

∴f（x）為周期函數(shù)且4是它的一個周期

（2）證明：∵f（x）R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，f（2）=f（0+2）=f（0）=0，

滿足f（x）=x2﹣2x，∴x∈[0，2]時，f（x）=x2﹣2x，

當(dāng)x∈[﹣2，0]時，﹣x∈[0，2]，∴f（﹣x）=x2+2x，

∴x∈[﹣2，0]時，∴f（x）=﹣[﹣f（x）]=x2﹣2x，

又當(dāng)x∈[2，4]時，x﹣4∈[﹣2，0]，

∴f（x）=f（x﹣4）=﹣（x﹣4）2﹣2（x﹣4）=﹣x2+6x﹣8

（3）證明：由函數(shù)的周期性可得，原式的值=4×502=2008
【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的周期性證明（2）利用周期性概念，奇偶性定義轉(zhuǎn)化，（3）根據(jù)周期性整體求解得出即可