Question

(本小題滿分13分) 2010年11月在廣州召開亞運(yùn)會(huì)，某小商品公司開發(fā)一種亞運(yùn)會(huì)紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售a件，通過改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場分析的結(jié)果表明：如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為x(0<x<1)，那么月平均銷售量減少的百分率為x²，記改進(jìn)工藝后，該公司銷售紀(jì)念品的月平均利潤是y(元)．
(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使該公司銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大．

Answer 1

解: (1)改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為20(1＋x)元，月平均銷售量為a(1－x²)件，則月平均利潤
y＝a(1－x²)[20(1＋x)－15](元)，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為
y＝5a(1＋4x－x²－4x³)(0<x<1)．
(2)由y′＝5a(4－2x－12x²)＝0得x₁＝，x₂＝－(舍)，
∴當(dāng)0<x<時(shí)，y′>0；當(dāng)<x<1時(shí)，y′<0.
∴函數(shù)y＝5a(1＋4x－x²－4x³)(0<x<1)在x＝處取得最大值．
故改進(jìn)工藝后，紀(jì)念品的銷售價(jià)為20＝30元時(shí)，該公司銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大．

略