Question

已知{a_n}是各項為正數的等比數列，且a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=100，4是a₂和a₄的一個等比中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若{a_n}的公比q∈（0，1），設b_n=a_n•log₂a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據a_n是各項為正數的等比數列，且a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=100求出a₂+a₄=10，然后聯(lián)合a₂•a₄=16，求出數列{a_n}的通項公式，
（2）當{a_n}的公比q∈（0，1），即q=

1

2

，然后根據b_n=a_n•log₂a_n，把a_n代入可得a_n=（5-n）•2^5-n，求出S_n=4•2⁴+3•2³+2•2²++（5-n）•2^5-n，再用

1

2

•S_n得

1

2

S_n=4•2³+3•2²+2•2¹+…+（5-n）•2^4-n，兩式相減后即可得數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）a_n是各項為正數的等比數列，且a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=100∴a₂²+2a₂a₄+a₄²=100，（a₂+a₄）²=100即：a₂+a₄=10，
由

a2+a4=10 a2a4=42=16

?

a2=2 a4=8

或

a2=8 a4=2

，
1當

a2=2 a4=8

時，q2=

a4

a2

=4?q=2(q=-26舍去），a_n=a₂q^n-2=2^n-1，
②當

a2=8 a4=2

時，q2=

a4

a2

=

1

4

?q=

1

2

(q=-

1

2

舍去），a_n=a₂q^n-2=2^5-n，
（2）若0＜q＜1，則：a_n=a₂q^n-2=2^5-nlog₂a_n=5-nb_n=a_nlog₂a_n=（5-n）•2^5-n
∴S_n=4•2⁴+3•2³+2•2²+…+（5-n）•2^5-n，

1

2

S_n=4•2³+3•2²+2•2¹+…+（5-n）•2^4-n，
兩式相減得：

1

2

S_n=4•2⁴-（2³+2²+2¹++2^5-n）-（5-n）•2^4-n=64-

23(1-21-n)

1-2-1

-(5-n)•24-n，
S_n=96+（n-3）•2^5-n．

點評：本題主要考查數列求和和等比數列的通項公式的知識點，解答本題的關鍵是要分類討論求出等比數列的公比q，還要熟練掌握用錯位相減法進行求和．