Question

直線l過(guò)x軸上的點(diǎn)M，l交橢圓

x2

8

+

y2

4

=1于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若M的坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)OA⊥OB時(shí)，求直線l的方程；
（2）若M的坐標(biāo)為（1，0），設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），是否存直線l，使得l垂直平分橢圓的一條弦？如果存在，求k的取值范圍；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，求出k，即可求直線l的方程；
（2）利用點(diǎn)差法求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)，即可求k的取值范圍．

解答：解：（1）k不存在時(shí)，顯然不成立；
令直線l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2+2y2=8 y=k(x-2)

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
∴x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8(k2-1)

1+2k2

，
由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，即x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=0，
∴(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=0，
韋達(dá)定理代入，得（1+k²）•

8(k2-1)

1+2k2

-2k²•

8k2

1+2k2

+4k²=0，
∴k=±

2

，
∴直線l：y=±

2

(x-2)；
（2）令A(yù)B中點(diǎn)（x₀，y₀），由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得

x 2 1 8 + y 2 1 4 =1，(1) x 2 2 8 + y 2 2 4 =1，(2)

（1）-（2），得

(x1-x2)(x1+x2)

2

+(y1-y2)(y1+y2)=0，
∴

x0

2

+kAB•y0=0，即

x0

2

-

1

k

•y0=0①
又因?yàn)锳B中點(diǎn)（x₀，y₀）在直線l上，所以y₀=k（x₀-2）②
由①②得x₀=2，y₀=k，
∵中點(diǎn)（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)，
∴

x 2 0

8

+

y 2 0

4

＜1，即-

2

＜k＜

2

，且k≠0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查點(diǎn)差法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用點(diǎn)差法是關(guān)鍵．