Question

【題目】如圖，A、B分別是橢圓的左、右端點，F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF.

（1）點P的坐標；

（2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于MB，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題（1）先求出PA、F的坐標，設出P的坐標，求出、的坐標，由題意可得，且y＞0，

解方程組求得點P的坐標．

（2）求出直線AP的方程，設點M的坐標，由M到直線AP的距離等于|MB|，求出點M的坐標，再求出橢圓上的點到點M的距離d的平方得解析式，配方求得最小值．

試題解析：

（1）由已知可得點A（﹣6，0），F(xiàn)（4，0），設點P（x，y），則=（x+6，y），=（x﹣4，y）．

由已知可得，2x2+9x﹣18=0，解得x=，或x=﹣6．

由于y＞0，只能x=，于是y=．∴點P的坐標是．

（2）直線AP的方程是 ，即 x﹣y+6=0．

設點M（m，0），則M到直線AP的距離是．

于是=|6﹣m|，又﹣6≤m≤6，解得m=2，故點M（2，0）．

設橢圓上的點（x，y）到點M的距離為d，有 d2=（x﹣2）2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =（x﹣）2+15，

∴當x=時，d取得最小值．