Question

已知關于x的函數f（x）=x²+2ax+b（其中a，b∈R）．
（1）求函數|f（x）|的單調區(qū)間；
（2）對于一切a∈[0，1]，若存在實數m，使得|f(m)| ≤ 

1

4

與|f(m+1)| ≤ 

1

4

能同時成立，求b-a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）=（x+a）²+a²-b開口向上，但a²-b的正負不定，所以在取絕對值時要分類討論．在每一種情況下分別求|f（x）|的單調區(qū)間．
（2）存在實數m，使得 |f(m)|≤

1

4

與|f(m+1)|≤

1

4

同時成立，即為兩變量對應的函數值都小于等于

1

4

的兩變量之間間隔不超過1，故須對a²-b和 -

1

4

，

1

4

的大小分情況討論，求出a²-b的取值范圍，進而求得b-a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+2ax+b=（x+a）²+a²-b
∴①當a²-b≥0時，單調區(qū)間為：（-∞，-a]上為減，[-a，+∞）上為增；（2分）
②當a²-b＜0時，單調區(qū)間為：(-∞，-a-

-a2+b

)減，
(-a-

-a2+b

，-a)增，(-a，-a+

-a2+b

)減，(-a+

-a2+b

，+∞)增（5分）
（2）①當 -

1

4

≤a2-b≤0時，由方程 x2+2ax+b=

1

4

，解得 x1，2=-a±

a2-b+ 1 4

，
此時 |x2-x1|=2

a2-b+ 1 4

≤1，此時不滿足存在實數m，使得|f(m)| ≤ 

1

4

與|f(m+1)| ≤ 

1

4

能同時成立．（8分）
②當

1

4

＞a2-b＞0時，由方程 x2+2ax+b=

1

4

，解得 x1，2=-a±

a2-b+ 1 4

此時 |x2-x1|=2

a2-b+ 1 4

∈(1，

2

)，滿足存在實數m，使得|f(m)| ≤ 

1

4

與|f(m+1)| ≤ 

1

4

能同時成立．（11分），此時有a2＞b＞a2-

1

4

，故a2-a＞b-a＞a2-a-

1

4

對一切a∈[0，1]都成立，由此解得b-a∈[-

1

2

，-

1

4

]
③當 a2-b≥

1

4

時，對一切a∈[0，1]，都不存在實數m，使得|f(m)| ≤ 

1

4

與|f(m+1)| ≤ 

1

4

能同時成立．
綜上得b-a∈[-

1

2

，-

1

4

]（16分）

點評：點評：本題考查了數學上的分類討論思想．分類討論目的是，分解問題難度，化整為零，各個擊破．