Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

(1)求證：AC1∥平面CDB1；

(2)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連接DE，由三角形中位線定理可證得DE∥AC1，從而可得AC1∥平面CDB1。（2）由DE∥AC1可得∠CED為AC1與B1C所成的角（或其補(bǔ)角），在中，可得，解三角形得，即為所求。

試題解析：

（1）證明：設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連接DE，

∵四邊形BCC1B1為正方形，

∴ E是BC1的中點(diǎn)，

又D是AB的中點(diǎn)，

∴DE∥AC1。

又DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1.

(2)解：∵DE∥AC1，

∴∠CED為AC1與B1C所成的角（或其補(bǔ)角）．

在△CED中， ，

∴。

∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為。