Question

已知函數(shù)在點（-1，f（-1））的切線方程為x+y+3=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=lnx，求證：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）首先求出f（1）的值，進而得出b-a=-4，然后求出函數(shù)的導數(shù)，求出f'（-1）==-1，就可以求出a、b的值，得出函數(shù)的解析式；
（II）將不等式整理得出（x²+1）lnx≥2x-2，問題轉(zhuǎn)化成x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立，然后設(shè)h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，并求出h'（x），得出x≥1時h'（x）≥0，可知h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，從而求出h（x）的最小值，得出結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）將x=-1代入切線方程得y=-2
∴，化簡得b-a=-4．                …（2分）
．                    …（4分）
解得：a=2，b=-2
∴．                                      …（6分）
（Ⅱ）由已知得在[1，+∞）上恒成立
化簡得（x²+1）lnx≥2x-2
即x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．             …（8分）
設(shè)h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，
∵x≥1∴，即h'（x）≥0．         …（10分）
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．                      …（12分）
點評：本題考查了利用導數(shù)研究某點的切線方程以及函數(shù)恒成立問題，關(guān)于函數(shù)恒成立問題一般轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．