Question

（2013•泉州模擬）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：

x=1- 2 2 t y= 2 2 t

（t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)．
（Ⅰ）求曲線C的平面直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C交于點M，N，若點P的坐標為（1，0），求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把給出的等式右邊展開兩角和的正弦公式，兩邊同時乘以ρ后代入公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，整理即可得到答案；
（Ⅱ）直接把直的參數(shù)方程代入曲線C的方程，化為關于t的一元二次方程后利用參數(shù)t的幾何意義可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)，
得ρ=2

2

(sinθcos

π

4

+cosθsin

π

4

)=2

2

(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=2sinθ+2cosθ．
所以ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ．
即x²+y²-2x-2y=0．
所以曲線C的平面直角坐標方程為x²+y²-2x-2y=0；
（Ⅱ）由直線l的參數(shù)方程為：

x=1- 2 2 t y= 2 2 t

（t為參數(shù)），
知直線l是過點P（1，0），且傾斜角為

3π

4

的直線，
把直線的參數(shù)方程代入曲線C得，t2-

2

t-1=0．
所以|PM|•|PN|=|t₁t₂|=1．

點評：本題考查了直線的參數(shù)方程，考查了簡單曲線的極坐標方程，考查了直線和圓的關系，解答此題的關鍵是熟練掌握直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，是中檔題．