Question

已知三角形ABC的兩頂點(diǎn)A、B分別是曲線x²+5y²=5的左右焦點(diǎn)，且內(nèi)角滿足

sinA

sinB

=

2 -cosA

2 +cosB

．
（1）求頂點(diǎn)C的軌跡方程E；
（2）若x軸上有兩點(diǎn)M(2，0)，N（1，0），過N的直線與曲線E的交點(diǎn)是D、E．求k_DM+k_EM的值．

Answer 1

分析：（1）由

sinA

sinB

=

2 -cosA

2 +cosB

，利用三角函數(shù)的和角公式化得：

2

sinB-

2

sinA=sinC，再結(jié)合正弦定理得出邊的關(guān)系式，最后利用雙曲線的定義即可求出頂點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（2）設(shè)所求直線的方程為l：y=k（x-1），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用斜率公式即可求得k_DM+k_EM的值，從而解決問題．

解答：解：（1）由

sinA

sinB

=

2 -cosA

2 +cosB

，得

2

sinB-

2

sinA=sinC，|AC|-|BC|=

1

2

|AB|=2

2

＜|AB|，
所以頂點(diǎn)C的軌跡E的方程為x²-y²=2（x＞1）．
（2）設(shè)l：y=k（x-1）（斜率不存在時(shí)不合題意），D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
由

x2-y2=2 y=k(x-1)

得（1-k²）x²+2k²x-k²-2=0，
則△＞0時(shí)，有x1+x2=

2k2

k2-1

，x1•x2=

k2+2

k2-1

．
∴kDM+kEM=

y1

x1-2

+

y2

x2-2

=

1

(x1-2)(x2-2)

[kx2(x1-1)+kx1(x2-1)-2k(x1+x2-2)
=

1

(x1-2)(x2-2)

[2kx1x2-3k(x1+x2)+4k]=

1

(x1-2)(x2-2)

(

2k3+4k

k2-1

-

6k3

k2-1

+4k)=0．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．