Question

【題目】已知數(shù)列、滿足，，其中，則稱為的“生成數(shù)列”．

（1）若數(shù)列的“生成數(shù)列”是，求；

（2）若為偶數(shù)，且的“生成數(shù)列”是，證明：的“生成數(shù)列”是；

（3）若為奇數(shù)，且的“生成數(shù)列”是，的“生成數(shù)列”是，…，依次將數(shù)列，，，…的第項取出，構(gòu)成數(shù)列．

探究：數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

試題（1）解：，，同理，；（2）只需按照定義證明即可，證明：，∵為偶數(shù)，將上述個等式中第2，4，6， ，這個式子兩邊取倒數(shù)，再將這個式子相乘得： ，因為，，所以根據(jù)“生成數(shù)列”的定義，數(shù)列是數(shù)列的“生成數(shù)列”；（3）因為，所以．

所以欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列即可．

試題解析：（1）解：，

同理，． 4分

（寫對一個得1分，總分4分）

（2）證明：

7分

∵為偶數(shù)，將上述個等式中第2，4，6， ，這個式子兩邊取倒數(shù)，再將這個式子相乘得：

∴9分

因為，

所以根據(jù)“生成數(shù)列”的定義，數(shù)列是數(shù)列的“生成數(shù)列”． 10分

（3）證明：因為，

所以．

所以欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列即可． 12分

對于數(shù)列及其“生成數(shù)列”

∵為奇數(shù)，將上述個等式中第2，4，6， ，這個式子兩邊取倒數(shù)，再將這個式子相乘得：

∴

因為，

數(shù)列的“生成數(shù)列”為，因為

所以成對比數(shù)列．

同理可證，也成等比數(shù)列．即是等比數(shù)列．

所以成等差數(shù)列． 16分