Question

已知展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和大992．
（Ⅰ）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；    （Ⅱ）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

【答案】分析：令x=1可得，展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為4ⁿ，而展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ，從而可求n得值，及通項(xiàng)
（Ⅰ）由上可得，n=5時(shí)，展開式有6項(xiàng)，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3，4項(xiàng)，代入通項(xiàng)可求
（Ⅱ）假設(shè)第k+1項(xiàng)最大，則解出k得范圍，結(jié)合k∈N^*可求
解答：解：由題意在中，令x=1可得，展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為（1+3×1）ⁿ=4ⁿ
又∵展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ
∴4ⁿ-2ⁿ=992
∴，…（3分）
（Ⅰ）當(dāng)n=5時(shí)，展開式有6項(xiàng)，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3，4項(xiàng)，
，
；…（6分）
（Ⅱ）假設(shè)第k+1項(xiàng)最大，則解得3.5≤k≤4.5，
∵k∈N^*
∴k=4，
∴為所求的系數(shù)最大的項(xiàng)．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用賦值法求解二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和及展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的綜合應(yīng)用．