Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-bx（a，b∈R），g（x）=-lnx
（I）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）與g（x）在定義域上的單調(diào)性相反，求b的取值范圍；
（II）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)y=f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，且x₁＜x₂求證＜a（x₁+x₂）+b．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意把a(bǔ)=-1代入f（x），然后分別對(duì)f（x），g（x）求導(dǎo)，得出f（x）為定義域上的單調(diào)遞增，得出f′（x）≥0，利用變量分離法求出b的范圍；
（II）由題意x₁，x₂是函數(shù)y=f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，可得f（x₁）=f（x₂）-0，得出x₁，x₂與a，b的式子，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用g（x）=-lnx在（0，+∞）上單調(diào)遞減，和，進(jìn)行證明．
解答：解：（I）∵a=-1，∴f（x）=lnx+x²-bx
由題意可知，f（x）與g（x）的定義域均為（0，+∞）
∵g′（x）===-，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
又a=-1時(shí)，f（x）與g（x）在定義域上的單調(diào)性相反
∴f（x）=lnx-ax²-bx在（0，+∞）上單調(diào)遞增
∴f′（x）=+2x-b≥0，對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
即b≤+2x對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（）max，
∵x＞0∴≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，等號(hào)成立）
∴b≤2，∴b的取值范圍（-∞，2）；
（II）由已知可得
∴∴
即∴a（x₁+x₂）+b=
從而
=
=，
∵g（x）=-lnx在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且
∴當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）＞g（1）=0
∴，
又，
∴即
即證．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了導(dǎo)數(shù)對(duì)于函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)，第二問(wèn)的化簡(jiǎn)很關(guān)鍵，要往所求的不等式兩邊的式子作為方向進(jìn)行化簡(jiǎn)．