Question

【題目】已知橢圓C: 的右焦點為，離心率．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知動直線l過點F，且與橢圓C交于A，B兩點，試問x軸上是否存在定點M ，使得恒成立？若存在，求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）x軸上存在點，使得恒成立，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)、離心率結(jié)合列式，求得的值，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）假設(shè)軸上存在，使.當(dāng)直線斜率為時，求得兩點的坐標(biāo)，利用列方程，解方程求得的值.當(dāng)直線斜率不存在時，求得兩點的坐標(biāo)，利用列方程，解方程求得的值.由此判斷，由此求得點坐標(biāo)，再證當(dāng)直線斜率存在時，即可.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，計算得，由此求得符合題意的點的坐標(biāo).

（1）∵ ，， ∴，

∴ ．

∴ 橢圓方程為．

（2）假設(shè)x軸上存在點M(m,0),使得,

①當(dāng)直線l的斜率為0時, ,,

則, 解得 ．

②當(dāng)直線l的斜率不存在時, ,,

則,

解得 ,．

由①②可得．

下面證明時, 恒成立.

直線l斜率存在時,設(shè)直線方程為.

由 消y整理得: ,

,,

.

.

綜上,軸上存在點，使得恒成立.