Question

【題目】在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G為AD中點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)．

（1）證明：BF∥平面ACD；
（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小；
（3）求點(diǎn)G到平面BCE的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以D點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

使得x軸和z軸的正半軸分別經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)E，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為D（0，0，0），B（2，0，1），E（0，0，2），C（1， ，0），F(xiàn)（ ， ，1），

∴ =（ ， ，0）

又∵ =（0，0，2）為平面ACD的一個(gè)法向量

且 =0

∴BF∥平面ACD

（2）解：設(shè)平面BCE的法向量為 =（x，y，z），

則 ⊥ ，且 ⊥ ，

由 =（1， ，1）， =（﹣1， ，2）得 ，

不妨設(shè)y= ，則 =（1， ，2）

又∵ =（0，0，2）為平面ACD的一個(gè)法向量

∴所求角θ滿足cosθ=

∴平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小為

（3）解：由已知G點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0，0），

∴ =（﹣1，0，﹣1），

由（2）平面BCE的法向量為 =（1， ，2）

∴所求距離d=| |= ．

【解析】（1）建立空間坐標(biāo)系，求出直線BF的方向向量和平面ACD的法向量，根據(jù)兩個(gè)向量垂直可得線面平行；（2）分別求出平面BCD與平面ACD的法向量，代入向量夾角公式，求出兩個(gè)向量夾角的余弦值，進(jìn)而可得二面角的大�。�3）求出BG的方向向量的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)公式可得點(diǎn)G到平面BCE的距離．