Question

【題目】某居民區(qū)有一個銀行網(wǎng)點（以下簡稱“網(wǎng)點”），網(wǎng)點開設(shè)了若干個服務(wù)窗口，每個窗口可以辦理的業(yè)務(wù)都相同，每工作日開始辦理業(yè)務(wù)的時間是8點30分，8點30分之前為等待時段.假設(shè)每位儲戶在等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的概率都相等，且每位儲戶是否在該時段到網(wǎng)點相互獨立.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，統(tǒng)計了各工作日在等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的儲戶人數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）估計每工作日等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的儲戶人數(shù)的平均值；

（2）假設(shè)網(wǎng)點共有1000名儲戶，將頻率視作概率，若不考慮新增儲戶的情況，解決以下問題：

①試求每位儲戶在等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的概率；

②儲戶都是按照進入網(wǎng)點的先后順序，在等候人數(shù)最少的服務(wù)窗口排隊辦理業(yè)務(wù).記“每工作日上午8點30分時網(wǎng)點每個服務(wù)窗口的排隊人數(shù)（包括正在辦理業(yè)務(wù)的儲戶）都不超過3”為事件，要使事件的概率不小于0.75，則網(wǎng)點至少需開設(shè)多少個服務(wù)窗口？

參考數(shù)據(jù)：；；

；.

Answer 1

【答案】（1）10（2）①0.01②4

【解析】

（1）先求出各組的頻率，根據(jù)均值公式得出平均值；

（2）①在等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的儲戶人數(shù)服從，根據(jù)期望得出概率；

②先求出，然后與參考數(shù)據(jù)進行對比，得出整數(shù)的最值.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，各組的頻率依次為：0.04，0.24，0.48，0.16，0.08，

故所求的平均值為： .

即每工作日等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的儲戶人數(shù)的平均值為10.

（2）①設(shè)在等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的儲戶人數(shù)為，

每位儲戶到網(wǎng)點辦理業(yè)務(wù)的概率為，則，

所以的數(shù)學期望，

將頻率視作概率，根據(jù)（1）的結(jié)論，所以，解得.

即每位儲戶在等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的概率為0.01.

②由①知，，則.

設(shè)網(wǎng)點共開設(shè)了個服務(wù)窗口，

則事件即“每工作日等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的儲戶人數(shù)不超過”，

其概率為，

所以滿足的最小正整數(shù)，即為所求.

因為 ，

，

所以，即為的最小值.

所以根據(jù)要求，網(wǎng)點至少需開設(shè)4個服務(wù)窗口.