Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，
（1）設(shè)橢圓C上的點(diǎn)（

3

，

3

2

）到F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)
（2）設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點(diǎn)，求線段KF₁的中點(diǎn)B的軌跡方程
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PM，K_PN試探究k_PM•K_PN的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓C上的點(diǎn)(

3

，

3

2

)到F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)距離之和等于4，可知2a=4，求得a．把點(diǎn)(

3

，

3

2

)和a代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得b．進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）設(shè)KF₁的中點(diǎn)為B（x，y）則點(diǎn)K（2x+1，2y），把K的坐標(biāo)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得到x和y的關(guān)系式即點(diǎn)B的軌跡方程
（3）設(shè)M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），p（x，y） 把這些點(diǎn)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到

x02

a2

+

y02

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1后兩式相減可得到

y2-y02

x2-x02

的值，然后表示出k_PM，K_PN后相乘并將

y2-y02

x2-x02

的值代入可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由于點(diǎn)(

3

，

3

2

)在橢圓上，

( 3 )2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1
2a=4，
橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0）
（2）設(shè)KF₁的中點(diǎn)為B（x，y）則點(diǎn)K（2x+1，2y）
把K的坐標(biāo)代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中得

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1
線段KF₁的中點(diǎn)B的軌跡方程為(x+

1

2

)2+

y2

3 4

=1
（3）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱
設(shè)M（x₀，y₀）N（-x₀，-y₀），p（x，y）
M，N，P在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，
得

x02

a2

+

y02

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1
kPM=

y-y0

x-x0

，KPN=

y+y0

x+x0

k_PM•K_PN=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

=

y2-y02

x2-x02

=-

b2

a2

k_PM•K_PN的值與點(diǎn)P及直線L無關(guān)

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的綜合問題．橢圓在圓錐曲線中所占比重最大，考查的也最多，要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．