Question

32、某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)，存款量與利率的平方成正比，比例系數(shù)為K（K＞0），貸款的利率為4.8%，又銀行吸收的存款能全部放貸出去．
（1）若存款的利率為x，x∈（0，0.048），試寫出存款量g（x）及銀行應(yīng)支付給儲(chǔ)戶的利息h（x）；
（2）存款利率定為多少時(shí)，銀行可獲得最大收益？

Answer 1

分析：（1）題目中條件：“存款量與利率的平方成正比”設(shè)比例系數(shù)為K，可得g（x）=Kx²，及銀行應(yīng)支付給儲(chǔ)戶的利息；
（2）最大收益問(wèn)題可利用求函數(shù)的最大值問(wèn)題解決，由于所得函數(shù)y=0.048•Kx²-Kx³為三次函數(shù)，故應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可求三次函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）由題意，存款量g（x）=Kx²，
銀行應(yīng)支付的利息h（x）=x•g（x）=Kx³
（2）設(shè)銀行可獲收益為y，則y=0.048•Kx²-Kx³
y′=K•0.096x-3Kx²令y′=0即K×0.096x-3Kx²=0
解得x=0或x=0.032
又當(dāng)x∈（0，0.032）時(shí)，y′＞0，x∈（0.032，0.048）時(shí)，
y′＜0∴y在（0，0.032）內(nèi)單調(diào)遞增，在（0.032，0.048）單調(diào)遞減
故當(dāng)x=0.032時(shí)，y在（0，0.048）內(nèi)取得極大值，亦即最大值．
答：存款利率為3.2%時(shí)，銀行可獲得最大收益．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)求最值的方法等，解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．