Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，準線的方程為，點在準線上，縱坐標為，點在軸上，縱坐標為．
（1）求拋物線的方程；
（2）求證：直線恒與一個圓心在軸上的定圓相切，并求出圓的方程.

Answer 1

（1）；（2）. 

（1）根據(jù)準線方程與標準方程的對應(yīng)關(guān)系直接可求出拋物線方程.
(2) 由題意可知，，所以直線
即：.下面證明的關(guān)鍵是先設(shè)圓心在軸上，且與直線相切的圓的方程為,則圓心到直線的距離為
即：或,所以：或對于任意恒成立即可.
（1）設(shè)拋物線的方程為
因為準線的方程式，所以，因此拋物線的方程為--------5分
（2）由題意可知，，所以直線
即：------------------------7分
設(shè)圓心在軸上，且與直線相切的圓的方程為
則圓心到直線的距離為
即：或--------------------9分
所以：或對于任意恒成立.
即：或
解得: 因此直線恒與一個圓心在軸上的定圓相切，圓的方程為.    -----------------------------12分