Question

（2012•金華模擬）ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，點O為正方體對角線的交點，過點O的任一平面α，正方體的八個頂點到平面α的距離作為集合A的元素，則集合A中的元素個數(shù)最多為（　　）

A．3個

B．4個

C．5個

D．6個

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由正方體的結(jié)構(gòu)特點，可得O是線段A₁C的中點，過點O作任一平面α，設(shè)A₁C與α所成的角為θ，分析可得點A₁與C到平面α的距離相等，同理可得B與D₁，A與C₁，D與B₁到平面α的距離相等，則可得集合A中的元素個數(shù)最多為4個，即可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，如圖，點O為正方體對角線的交點，則O是線段A₁C的中點，
過點O作任一平面α，設(shè)A₁C與α所成的角為θ，
分析可得點A₁與C到平面α的距離相等，均為

A1C•sinθ

2

，
同理B與D₁到平面α的距離相等，
A與C₁到平面α的距離相等，
D與B₁到平面α的距離相等，
則集合A中的元素個數(shù)最多為4個；
故選B．

點評：本題考查正方體的幾何結(jié)構(gòu)，注意正方體中心的性質(zhì)，即體對角線的交點，從而分析得到體對角線的兩個端點到平面α的距離相等．