Question

【題目】已知點(diǎn)，圓：，點(diǎn)是圓上一動點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）曲線與軸交于點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，若，試判斷直線與曲線的交點(diǎn)的個數(shù).

Answer 1

【答案】(1).

(2)與曲線只有一個交點(diǎn).

【解析】分析: (1)利用待定系數(shù)法求點(diǎn)P的軌跡E的方程.(2)先求直線的方程為 ，再聯(lián)立橢圓，求得△=0得與曲線只有一個交點(diǎn).

詳解：（1）連接，由題知，

所以，即點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，

因此，，所以，

所以點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）不妨設(shè)，，則直線：，

設(shè)，則，所以，

因此直線：.

設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，

因此，所以，

所以，

所以直線的方程為，即，

其中，，

聯(lián)立直線：與橢圓，得，

所以 ，

所以與曲線只有一個交點(diǎn).