Question

已知實數(shù)m>0，直線l：與橢圓C：相切于點P。
（1）求實數(shù)m的值；
（2）若與l平行的直線l'與橢圓C交于點A，B，當a=2時，求的最小值。

Answer 1

解：（1）由題意可知方程組
消去x得到的方程2y²-2my+m²-1=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ=4m²-8（m²-1）=0，而m>0，故m=。
（2） 設(shè)直線l'的方程為
設(shè)A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則，且y₁，y₂是方程組
消去x 所得的方程2y²-2ay+n²-1=0的兩個不同實根，
則Δ=4n²-8（n²-1）>0，
∴，且
從而有x₁+x₂=2（n-y₁）+2（n-y₂）=2[2n-（y₁+y₂）]=2n，
x₁·x₂=2（n-y₁）·2（n-y₂）
=4[n²-n（y₁+y₂）+y₁·y₂]= 2（n²-1）
又由于，
∴令
 

由，知M的最小值為
即的最小值為。