【題目】若長(zhǎng)方體
的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，
是
的中點(diǎn)，則（ ）
A.
B.平面
平面
C.三棱錐
的體積為
D.三棱錐
的外接球的表面積為
【答案】CD
【解析】
以
為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算
值即可判斷A；分別求出平面
，平面
的法向量，判斷它們的法向量是否共線，即可判斷B；利用等體積法，求出三棱錐
的體積即可判斷C；三棱錐
的外接球即為長(zhǎng)方體
的外接球，故求出長(zhǎng)方體的外接球的表面積即可判斷D.
以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
因?yàn)?/span>
，所以
與
不垂直，故A錯(cuò)誤；
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
，則
由
，得
，所以
，
不妨取
，則
，
所以
，
同理可得設(shè)平面的一個(gè)法向量為
，
故不存在實(shí)數(shù)
使得
，故平面與平面不平行，故B錯(cuò)誤；
在長(zhǎng)方體中，
平面
，
故
是三棱錐
的高，
所以
，
故C正確；
三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，
故外接球的半徑
，
所以三棱錐的外接球的表面積
，故D正確.
故選：CD.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】從某單位45名職工中隨機(jī)抽取5名職工參加一項(xiàng)社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，用隨機(jī)數(shù)法確定這5名職工
現(xiàn)將隨機(jī)數(shù)表摘錄部分如下：
從隨機(jī)數(shù)表第一行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第5個(gè)職工的編號(hào)為
A.23B.37C.35D.17
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】
請(qǐng)用空間向量求解
已知正四棱柱
中，
，
， 
分別是棱
，
上的點(diǎn)，且滿足
，
．
求異面直線
，
所成角的余弦值；
求面
與面
所成的銳二面角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在平面四邊形
中， 
， 
，將
沿
折起，使得平面
平面
，如圖．
（1）求證： 
；
（2）若
為
中點(diǎn)，求直線
與平面
所成角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（Ⅰ）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
（Ⅱ）若
, 
,求函數(shù)
圖像上任意一點(diǎn)處切線斜率
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點(diǎn)曲線
的一個(gè)焦點(diǎn)， 
為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)
為拋物線
上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)
作
軸的平行線交拋物線的準(zhǔn)線于
，直線
交拋物線于點(diǎn)
.
（Ⅰ）求拋物線
的方程；
（Ⅱ）求證：直線
過(guò)定點(diǎn)
，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（I）
；（II）證明見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）將曲線
化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得
的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為
，可得
，所以
，即拋物線的方程為
；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ），可設(shè)
，得
，從而直線
的方程為
,聯(lián)立直線與拋物線方程得
，解得
，直線
的方程為
，整理得
的方程為
，此時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn)
.
試題解析：（Ⅰ）由曲線
，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得
， 所以曲線
是焦點(diǎn)在
軸上的雙曲線，其中
，故
， 
的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為
，因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
，由題意知
，所以
，即拋物線的方程為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線
的準(zhǔn)線方程為
，設(shè)
，顯然
.故
，從而直線
的方程為
,聯(lián)立直線與拋物線方程得
，解得
①當(dāng)
，即
時(shí)，直線
的方程為
，
②當(dāng)
，即
時(shí)，直線
的方程為
，整理得
的方程為
，此時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn)
， 
也在直線
的方程為
上，故直線
的方程恒過(guò)定點(diǎn)
.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知函數(shù)
， 
（Ⅰ）當(dāng)
時(shí)，求函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若
時(shí)，關(guān)于
的不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（Ⅲ）若數(shù)列
滿足
， 
，記
的前
項(xiàng)和為
，求證： 
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）若函數(shù)
為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)
的值；
（2）若
，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）當(dāng)
時(shí)，若對(duì)任意的
，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同冪，則積不容異”.這里的“冪”指水平截面的面積，“勢(shì)”指高.這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等.一般大型熱電廠的冷卻塔大都采用雙曲線型.設(shè)某雙曲線型冷卻塔是曲線
與直線
， 
和
所圍成的平面圖形繞
軸旋轉(zhuǎn)一周所得，如圖所示.試應(yīng)用祖暅原理類比求球體體積公式的方法，求出此冷卻塔的體積為_______.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】總體由編號(hào)為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6個(gè)個(gè)體，選取方法從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第6個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 |
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 |
A.07B.04C.02D.01
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