Question

已知定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足對任意實數x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且當x＞0時f（x）＞0．
（1）判斷并證明f（x）在（-1，1）上的奇偶性；
（2）判斷并證明f（x）在（-1，1）上的單調性；
（3）若f(

1

5

)=

1

2

，求f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)的值．

Answer 1

分析：（1）根據恒等式賦值，令x=y=0，即可求得f（0），再令y=-x，求得f（x）+f（-x）=f（0），根據奇函數的定義，即可證得結論；
（2）設x₁＜x₂，則作差f（x₂）-f（x₁），利用函數為奇函數和恒等式，即可得到f（x₂）-f（x₁）=f（

x2-x1

1-x1x2

），判斷符號結合函數單調性的定義，即證得結論；
（3）利用函數為奇函數，則f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)=f（

1

2

）+f（-

1

11

）+f（-

1

19

），利用恒等式化簡計算即可得f（

5

13

），又f（

1

5

）+f（

1

5

）=f（

5

13

），從而求得答案．

解答：解：（1）f（x）為（-1，1）上的奇函數，
證明如下：
∵f（x）滿足對任意實數x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
∴令x=y=0，則有f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0，
再令y=-x，則有f（x）+f（-x）=f（

x-x

1-x2

）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）為（-1，1）上的奇函數；
（2）f（x）在（-1，1）上為單調遞減函數，
證明如下：
設-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x）為奇函數且f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（

x2-x1

1-x1x2

），
∵-1＜x₁＜x₂＜1，則x₂-x₁＞0，0＜x₁x₂＜1，即1-x₁x₂＞0，
故

x2-x1

1-x1x2

＞0，
又∵當x＞0時f（x）＞0，
∴f（

x2-x1

1-x1x2

）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上為單調遞增函數；
（3）∵f（x）為奇函數，且f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
∴f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)=f（

1

2

）+f（-

1

11

）+f（-

1

19

）=f(

1 2 - 1 11

1- 1 2 × 1 11

)+f（-

1

19

）=f（

3

7

）+f（-

1

19

）=f(

3 7 - 1 19

1- 3 7 × 1 19

)=f（

5

13

），
又f（

1

5

）+f（

1

5

）=f(

1 5 + 1 5

1- 1 5 × 1 5

)=f（

5

13

）=

1

2

×2=1，
∴f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)=1．

點評：本題考查了抽象函數及其應用．對于抽象函數的求值問題一般選用賦值法進行求解，奇偶性的判斷一般應用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數的定義域是否關于原點對稱然后判斷f（-x）與f（x）之間的關系．函數單調性的證明一般選用定義法證明，證明的步驟是：設值，作差，化簡，定號，下結論．本題的解題關鍵就是在于根據恒等式構造所需要的表達式．屬于中檔題．