Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+x2-2．
（Ⅰ）設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，其中a₁=3．若點(diǎn)（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=f′（x）的圖象上，求證：點(diǎn)（n，S_n）也在y=f′（x）的圖象上；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（a-1，a）內(nèi)的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知f′（x）=x²+2x，由點(diǎn)（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N⁺）在函數(shù)y=f′（x）的圖象上，知（a_n-1-a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，所以Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n=f'（n），故點(diǎn)（n，S_n）也在函數(shù)y=f′（x）的圖象上．
（Ⅱ）由f'（x）=0，得x=0或x=-2．然后列表求解函數(shù)f（x）在區(qū)間（a-1，a）內(nèi)的極值．

解答：解：（Ⅰ）證明：因?yàn)?span id="tuy6cay" class="MathJye">f(x)=

1

3

x3+x2-2，所以f′（x）=x²+2x，
由點(diǎn)（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N⁺）在函數(shù)y=f′（x）的圖象上，
又a_n＞0（n∈N⁺），所以（a_n-1-a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
所以Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n，又因?yàn)閒′（n）=n²+2n，所以S_n=f'（n），
故點(diǎn)（n，S_n）也在函數(shù)y=f′（x）的圖象上．

（Ⅱ）解：f'（x）=x²+2x=x（x+2），由f'（x）=0，得x=0或x=-2．
當(dāng)x變化時，f'（x）﹑f（x）的變化情況如下表：

注意到|（a-1）-a|=1＜2，從而
①當(dāng)，此時f（x）無極小值；
②當(dāng)a-1＜0＜a，即0＜a＜1時，f（x）的極小值為f（0）=-2，此時f（x）無極大值；
③當(dāng)a≤-2或-1≤a≤0或a≥1時，f（x）既無極大值又無極小值．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識，考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力．對于a的討論標(biāo)準(zhǔn)找不到或?qū)ζ溆懻摬蝗�造成結(jié)果錯誤．分類討論思想在數(shù)學(xué)中是非常重要的思想之一，所以希望能加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．